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<title>Kreiseltheorie</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Kreiseltheorie</h1>

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Die Kreiseltheorie beschäftigt sich mit <a href="Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">rotierenden</a> Körpern, bei denen <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">Verschiebungen im Raum</a> und <a href="Verformung" title="Verformung">Formänderungen</a> von untergeordneter Bedeutung sind.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Körper, auf die diese Beschreibung zutrifft, werden in der Theorie zusammenfassend als <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a> bezeichnet und beinhalten so verschiedene Objekte wie <a href="Stehaufkreisel" title="Stehaufkreisel">Stehaufkreisel</a>, <a href="Langgeschoss" title="Langgeschoss">Langgeschosse</a> oder die <a href="Erdrotation" title="Erdrotation">Erde</a>. Die Kreiselbewegungen sind für Mathematik, Physik und Ingenieurwesen – somit für Theorie und Praxis – gleichermaßen interessant. Ziel der Theorie ist es, Anwendungen wie die unten aufgeführten auf eine sichere Grundlage zu stellen.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> begründete 1750 die (analytische) Kreiseltheorie, indem er die heute nach ihm benannten <a href="Eulersche_Gleichungen_(Kreiseltheorie)" title="Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)">Kreiselgleichungen</a> aufstellte. Die Kreiselgleichungen sind das <a href="Pendant" title="Pendant">Pendant</a> zu <a href="Newtonsche_Axiome#Zweites_newtonsches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Newton’s zweitem Gesetz</a> Kraft gleich Masse mal Beschleunigung für rotierende Starrkörper und vergleichbar fundamental für die Physik.

Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem <a href="Schwerer_Kreisel" title="Schwerer Kreisel">schweren Kreisel</a> gewidmet, der sich, wie die Animation wiedergibt, mit seinem Beharrungsvermögen in eigentümlicher Weise dem Umfallen aufgrund seiner Schwere widersetzt.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Bis Anfang des 21. Jahrhunderts sind nur in wenigen Fällen <a href="Euler-Poisson-Gleichungen#Lösungen_der_Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">analytisch darstellbare Bewegungen</a> gefunden worden und die Frage nach der Lösbarkeit der Kreiselgleichungen in der großen Mehrheit der Kreiselbewegungen bleibt offen. Die moderne Kreiseltheorie widmet sich den allgemeinen Eigenschaften des dynamischen Systems.<a href="#cite_note-richter2527-4">[4]</a> Bei realen Kreiselphänomenen sind <a href="Reibung" title="Reibung">Reibeffekte</a> wesentlich, mit denen sich beispielsweise das Aufrichten des <a href="Spielkreisel" title="Spielkreisel">Spielkreisels</a> erklärt.

Anwendungen findet die Kreiseltheorie in der Eisenbahntechnik (<a href="Sinuslauf" title="Sinuslauf">Sinuslauf</a>), der <a href="Drallstabilisierung" class="mw-redirect" title="Drallstabilisierung">Drallstabilisierung</a> von Schiffen (<a href="Schiffskreisel" class="mw-redirect" title="Schiffskreisel">Schiffskreisel</a>), <a href="Stabilisierung_(Raumfahrt)" title="Stabilisierung (Raumfahrt)">Raumflugkörpern</a> und <a href="Tr%C3%A4gheitsnavigationssystem" title="Trägheitsnavigationssystem">Trägheitsnavigationssystemen</a> sowie in der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> und <a href="Ballistik" title="Ballistik">Ballistik</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Die wissenschaftliche Behandlung von Kreiseln begann mit <a href="Johann_Andreas_von_Segner" title="Johann Andreas von Segner">J. A. Segner</a> (1704 – 1777), der auch schon die Bedeutung der <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a> für das Aufrichten der Kreiselachse richtig erkannte.<a href="#cite_note-edmw-5">[5]</a> Leonhard Euler entwickelte 1736 eine Theorie der <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a><a href="#cite_note-Darmstaedter-6">[6]</a> und 1750 die Kreiselgleichungen,<a href="#cite_note-Truesdell-7">[7]</a> die er 1758 für den kräftefreien <a href="Euler-Kreisel" title="Euler-Kreisel">Euler-Kreisel</a> lösen oder zumindest auf <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptische Integrale</a> zurückführen konnte.<a href="#cite_note-euler-8">[8]</a> Von nun an war es möglich, Erkenntnisse aus Lösungen der Gleichungen abzuleiten, was sich allerdings als äußerst hartnäckiges „Kreiselproblem“ herausstellte.

Anders als bei Newton’s zweitem Gesetz, das spektakuläre Erfolge in der Himmelsmechanik feierte, gelang eine Lösung der Kreiselgleichungen nur beim Euler-Kreisel und erst 38 Jahre später (1788) beim <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">schweren symmetrischen Kreisel mit Fixpunkt</a> durch <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>.<a href="#cite_note-lagrange-9">[9]</a> <a href="Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" title="Carl Gustav Jacob Jacobi">Carl Gustav Jacob Jacobi</a> veröffentlichte 1829 die Theorie der <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">elliptischen</a> und der <a href="Theta-Funktion" class="mw-redirect" title="Theta-Funktion">Theta-Funktionen</a>, mit denen sich die Kreiselgleichungen lösen lassen. Das hat Jacobi am Euler-Kreisel demonstriert und er empfahl 1849 mehrfach, das Problem mit diesen Funktionen anzugehen.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Zwischenzeitlich (1834) trug <a href="Louis_Poinsot" title="Louis Poinsot">Louis Poinsot</a> seine anschauliche <a href="Poinsotsche_Konstruktion" title="Poinsotsche Konstruktion">geometrische Deutung der Kreiselbewegungen</a> bei und veröffentlichte <a href="Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a> seine <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">kinematischen Gleichungen</a> (1838).<a href="#cite_note-poisson-11">[11]</a>

Trotz des vielversprechenden Ansatzes mit Theta-Funktionen und Preisausschreiben der <a href="K%C3%B6niglich_Preu%C3%9Fische_Akademie_der_Wissenschaften_zu_Berlin" class="mw-redirect" title="Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin">preußischen</a> und <a href="Russische_Akademie_der_Wissenschaften" title="Russische Akademie der Wissenschaften">russischen Akademie der Wissenschaften</a> in den 1850er Jahren erwies sich die „mathematische <a href="Nixe" title="Nixe">Nixe</a>“, wie das Kreiselproblem in Deutschland mittlerweile aufgrund der Ästhetik des Gegenstands und der Grundgleichungen sowie seiner mathematischen Unnahbarkeit tituliert wurde, als äußerst unzugänglich.<a href="#cite_note-12">[12]</a> <a href="Sofia_Kowalewskaja" class="mw-redirect" title="Sofia Kowalewskaja">Sofia Kowalewskaja</a> entdeckte 1888 den letzten durch Theta-Funktionen lösbaren Fall, den schweren, symmetrischen, inhomogenen <a href="Kowalewskaja-Kreisel" title="Kowalewskaja-Kreisel">Kowalewskaja-Kreisel</a>, womit die analytische Kreiseltheorie zu einem gewissen Abschluss kam.<a href="#cite_note-13">[13]</a> So sind die Standardwerke von <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Klein</a> und <a href="Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">Sommerfeld</a> (entstanden 1896–1910), <a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">Richard Grammel</a> (1920, 1950) oder <a href="Kurt_Magnus_(Ingenieur)" title="Kurt Magnus (Ingenieur)">Kurt Magnus</a> (1971) noch zu Beginn des 21. Jahrhunderts benutzbar. Ein Beleg dafür ist, dass ersteres Werk noch 100 Jahre nach seinem Erscheinen ins Englische übersetzt wurde.<a href="#cite_note-kleinsommer-14">[14]</a>

<a href="Alexander_Michailowitsch_Ljapunow" title="Alexander Michailowitsch Ljapunow">A. M. Ljapunow</a> bewies 1894, dass die drei Fälle von Euler, Lagrange und Kowalewskaja die einzigen sind, in denen die Lösung der Bewegungsgleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen eine eindeutige Funktion der Zeit ist, und É. Husson zeigte 1905,<a href="#cite_note-husson-15">[15]</a> dass diese Kreisel auch die einzigen durch algebraische <a href="#Integrale_der_Bewegung">#Integrale der Bewegung</a> lösbaren Fälle sind.<a href="#cite_note-16">[16]</a> Um 1900 haben Mathematiker <a href="Euler-Poisson-Gleichungen#Lösungen_der_Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">einige integrierbare Spezialfälle</a> gefunden,<a href="#cite_note-17">[17]</a> aber die Frage nach der Lösbarkeit der großen Mehrheit der Kreiselbewegungen bleibt bis ins 21. Jahrhundert hinein offen.<a href="#cite_note-richter2525-18">[18]</a>

Wenngleich sich die klassische Kreiseltheorie überwiegend mit dem starren Körper mit Fixpunkt befasste, so wurden doch auch kreiselähnliche Erscheinungen an rotierenden Ketten, verformbaren Körpern – insbesondere der Erde – oder Flüssigkeiten untersucht. Durch die Raumfahrt kamen neue Problemstellungen hinzu,<a href="#cite_note-magnus1963-19">[19]</a> wie beispielsweise

<ul><li>die Selbsterregung (im körperfesten System aufgebrachte Momente) zwecks Stabilisierung und Lageregelung, siehe <a href="Stabilisierung_(Raumfahrt)" title="Stabilisierung (Raumfahrt)">Stabilisierung (Raumfahrt)</a>,</li>

<li>die Bewegungen von Körpern mit veränderlichen Massen,</li>

<li>die Bewegungen starrer Körper mit Flüssigkeitsfüllung,</li>

<li>die Drehbewegungen in einem zentralen Schwerefeld oder</li>

<li>die Beeinflussung von Translations- und Rotationsbewegungen.</li></ul>

Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die Computerhard- und -software und mit ihnen die <a href="Numerische_Simulation" title="Numerische Simulation">numerische Simulation</a> soweit, dass mit ihrer Hilfe die Bewegungsgleichungen bei beliebigen <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> und jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden können.<a href="#cite_note-magnus109-20">[20]</a> Die analytischen Lösungen verloren nun die früher berechtigte, zentrale Bedeutung und die Theorie wandte sich den nicht integrablen Fällen zu. Analytische und geometrische Methoden zu ihrer Untersuchung entstanden, die auch immer wieder durch den Kowalewskaja-Kreisel motiviert waren, der die Wissenschaft das gesamte 20. Jahrhundert hindurch beschäftigte. Die Untersuchungsmethoden der integrablen Fälle wurden zu Beginn des 21. Jahrhunderts auf die <a href="Integrables_System" title="Integrables System">nicht-integrablen dynamischen Systeme</a> übertragen.<a href="#cite_note-21">[21]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_der_Kreisel_und_ihrer_Bewegungen">Eigenschaften der Kreisel und ihrer Bewegungen</h2></div>

Die Kreiseltheorie versteht unter einem Kreisel einen beliebig gestalteten <a href="Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starren Körper</a>, der Drehbewegungen ausführt. Dieses <a href="Idealisierung_(Physik)" title="Idealisierung (Physik)">idealisierende Modell</a> für wirkliche Kreisel ermöglicht deren Verhalten mit einfacheren mathematischen Hilfsmitteln zu erfassen.<a href="#cite_note-22">[22]</a> Die klassische Kreiseltheorie konzentrierte sich auf den <a href="Schwerer_Kreisel" title="Schwerer Kreisel">schweren Kreisel</a>, der in einem <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystem</a> in einem seiner Punkte derart festgehalten wird, dass er sich um diesen Punkt noch irgendwie drehen kann.<a href="#cite_note-23">[23]</a> Diese Forderung stellt nur eine kleine Einschränkung dar, denn jede Starrkörperbewegung lässt sich in Rotation und Translation zerlegen, und sofern letztere (näherungsweise) <a href="Gleichf%C3%B6rmige_Bewegung" title="Gleichförmige Bewegung">gleichförmig</a> ist, spielt sie für die Kreiselbewegung keine Rolle. Durch die Fixierung in einem Punkt fallen die drei Verschiebungs<a href="Freiheitsgrad" title="Freiheitsgrad">freiheitsgrade</a> weg und verbleiben nur die drei Drehfreiheitsgrade des Kreisels, siehe <a href="#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel">#Bezugssysteme und Euler-Winkel</a>.

Die Geschwindigkeit der Drehbewegung ist in der Kreiseltheorie unwesentlich. Der relativ langsam umlaufende „Erdkreisel“ unterliegt den Kreiselgesetzen genauso wie ein mit 60.000<a href="Drehzahl" title="Drehzahl">/min</a> rotierender technischer Kreisel, allerdings vereinfachen sich die Gesetzmäßigkeiten bei diesen sogenannten schnellen Kreiseln außerordentlich.<a href="#cite_note-24">[24]</a>

Die Bewegungen des kräftefreien Kreisels werden in der Kreiseltheorie <a href="Nutation_(Physik)" title="Nutation (Physik)">Nutation</a> genannt und die fremderregten <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a>.<a href="#cite_note-25">[25]</a><a href="#cite_note-präzession-26">[26]</a> Allerdings sind diese Bezeichnungen nicht einheitlich. Arnold<a href="#cite_note-arnold-27">[27]</a> beispielsweise nennt die periodische Änderung der Neigung der Figurenachse gegenüber der <a href="Lotlinie" class="mw-redirect" title="Lotlinie">Lotlinie</a> beim <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">Lagrange-Kreisel</a> Nutation und die <a href="Azimut" title="Azimut">azimutale</a> Drehung Präzession.

Die Drehachse eines Kreisels ist nicht körperfest, sie kann sich also relativ zum Kreisel bewegen und überstreicht dabei den körperfesten Gangpolkegel oder kurz Polkegel. Gleichzeitig bewegt sich die Drehachse auch im Raum und erzeugt dadurch eine Fläche, den Rastpol- oder Spurkegel. Die Leitkurve der Kegel ist der Endpunkt des Winkelgeschwindigkeitsvektors, der teils chaotisch schwankt, nur selten einen Zustand zweimal einnimmt und beliebig geformte <a href="Spurkegel_und_Polkegel" title="Spurkegel und Polkegel">Spurkegel und Polkegel</a> erzeugt. Hat der Kreisel einen Fixpunkt, dann befinden sich die Spitzen der Kegel in diesem Fixpunkt, und die Bewegung des Kreisels kann als ein <a href="Schlupf" title="Schlupf">schlupf</a>loses Abrollen des körperfesten Polkegels auf dem raumfesten Spurkegel gedeutet werden.<a href="#cite_note-28">[28]</a> Bei der <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">regulären Präzession</a> wie beim symmetrischen Euler-Kreisel sind die Kegel <a href="Kreiskegel" class="mw-redirect" title="Kreiskegel">Kreiskegel</a> und die Bewegung durch die Kegel besonders anschaulich, siehe <a href="#Abb.Bewegungsform">Abbildung 2 zur Bewegungsform</a>.

Der <a href="Euler-Kreisel" title="Euler-Kreisel">kräftefreie Kreisel</a> befolgt mangels äußerer Einwirkungen den <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a>. Solche Erhaltungsgrößen sind in der Kreiseltheorie von großem Interesse und werden <a href="#Integrale_der_Bewegung">#Integrale der Bewegung</a> genannt. Dem <a href="Spielkreisel" title="Spielkreisel">Spielkreisel</a> nahe verwandt ist der <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">Lagrange-Kreisel</a>, an dem paradoxe Kreiselerscheinungen auffallen:

<ul><li>die Präzession mit horizontaler <a href="Figurenachse" title="Figurenachse">Figurenachse</a>, siehe <a href="#Speichenrad">Abbildung 3 zum Speichenrad</a>, und</li>

<li>das Aufrichten des Kreisels entgegen der Schwerkraft, wie beim <a href="Stehaufkreisel" title="Stehaufkreisel">Stehaufkreisel</a>.</li></ul>

Beim <a href="Kowalewskaja-Kreisel" title="Kowalewskaja-Kreisel">Kowalewskaja-Kreisel</a> sind die Bewegungsfunktionen mathematisch anspruchsvoll und fast alle seine Bewegungen ändern ihr Stabilitätsverhalten, wenn sie schneller oder langsamer erfolgen. Der deutsche <a href="Wilhelm_Hess_(Mathematiker)" title="Wilhelm Hess (Mathematiker)">Mathematiker Wilhelm Hess</a> entdeckte 1890 das <a href="Hess%E2%80%99sches_Pendel" class="mw-redirect" title="Hess’sches Pendel">loxodromische Pendel</a>, dessen Schwerpunkt sich wie bei einem <a href="Sph%C3%A4risches_Pendel" title="Sphärisches Pendel">sphärischen Pendel</a> unter kreiselspezifischer Schwerebeschleunigung bewegt, siehe <a href="#Abb.HessPendel">Abbildung 4 zum Hess’schen Pendel</a>.

Jeder Kreisel kann permanente <a href="Staude-Drehung" title="Staude-Drehung">Staude-Drehungen</a> um eine körperfeste <a href="Lotrecht" class="mw-redirect" title="Lotrecht">lotrechte</a> Achse ausführen. Ebenfalls sind <a href="Pseudoregul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Pseudoreguläre Präzession">pseudoreguläre Präzessionen</a> möglich, wenn der Drehimpuls groß und nahe einer Symmetrieachse ausgerichtet ist. Die Bewegung gleicht der <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">regulären Präzession</a>, bei der der Kreisel wie in <a href="#Animation_zu_Beginn">Abb. 1</a> um eine raumfeste und eine andere körperfeste Achse gleichmäßig rotiert und die beiden Achsen einen gleichbleibenden Winkel einschließen. Bei der pseudoregulären Präzession treten jedoch mit dem Auge kaum wahrnehmbare, kleine, überlagernde, <a href="Zykloide" title="Zykloide">zykloiden</a>ähnliche Oszillationen der Drehachse auf, die nach einem der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> entlehnten Wort ebenfalls <a href="Nutation_(Astronomie)" title="Nutation (Astronomie)">Nutationen</a> genannt werden.<a href="#cite_note-29">[29]</a><a href="#cite_note-autenrieth-30">[30]</a> Eine Zusammenstellung einiger Fälle, in denen bis Anfang des 21. Jahrhunderts exakte Lösungen der Bewegungsgleichungen gelungen sind, finden sich bei den <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a>.<a href="#cite_note-31">[31]</a>

Die Energiefläche, auf der die Winkelgeschwindigkeit entlangfährt, kann bei allen Kreiseln analytisch beschrieben werden und es zeigt sich, dass die Fläche in instabilen relativen Gleichgewichten <a href="Bifurkation_(Mathematik)" title="Bifurkation (Mathematik)">verzweigen</a> kann, beispielsweise wenn der senkrecht stehende Kreisel instabil ist. In solchen Verzweigungspunkten ändert die Energiefläche ihre Eigenschaften (<a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a>), was analytisch darstellbar und kreiseltheoretisch von Interesse ist.<a href="#cite_note-richter2526-32">[32]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drehimpuls_und_Drehträgheit">Drehimpuls und Drehträgheit</h2></div>

Der Schwung eines <a href="Massenpunkt" title="Massenpunkt">Massenpunkts</a>, sein Beharrungsvermögen in der momentanen Bewegung, ist physikalisch durch seinen <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> gegeben, der das Produkt aus der Masse und der Geschwindigkeit ist. Der Schwung von Kreiseln, ihr Beharrungsvermögen in der momentanen Drehung, ist entsprechend durch ihren <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> gegeben, der eine <a href="Vektor" title="Vektor">vektorielle Größe</a> mit Richtung und Länge ist. Je größer der Drehimpuls ist, desto schwerer ist es, den Kreisel von seiner augenblicklichen Drehung abzubringen.

Der Drehimpuls eines mit dem Kreisel rotierenden Massenpunkts ist gegeben durch seinen Abstand von der Drehachse und seinen Impuls, der mit der Geschwindigkeit wächst, die im Kreisel mit dem Abstand zur Drehachse zunimmt. Somit ist der Drehimpuls eines Massenpunkts proportional zum Quadrat seines Abstands zur Drehachse. Das Produkt aus Masse und dem Quadrat des Abstands zur Drehachse ist das <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> des Massenpunkts und die Summation über alle Massenpunkte des Kreisels liefert dessen Trägheitsmoment um die jeweilige Achse.

Die Drehträgheitseigenschaften bei Drehung um einen Bezugspunkt auf der Drehachse lassen sich für einen Kreisel anschaulich durch sein <a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid" title="Trägheitsellipsoid">Trägheitsellipsoid</a> darstellen, siehe <a href="#Abb.traegheitsellipsoid">Abbildung 5</a> dazu. Der Abstand zwischen dem Bezugspunkt und dem Schnittpunkt der Drehachse mit dem Trägheitsellipsoid bestimmt das Trägheitsmoment J um die Achse. Die Halbachsen des Trägheitsellipsoids sind die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptachsen</a> und ihre relativen Längen hängen mit den <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomenten</a> des Kreisels zusammen, die den Kreisel kennzeichnende <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größen</a> sind.

Die Drehachse muss keineswegs fest sein, sondern kann sich im Raum und relativ zum Kreisel bewegen, wobei sich sein Trägheitsmoment mit der Achsrichtung ändern kann. Anders als bei Geschwindigkeit und Impuls ist der Zusammenhang zwischen Drehgeschwindigkeit und Drehimpuls zeitabhängig und außerdem müssen beide Größen auch nicht parallel sein.

Eine charakteristische Abmessung des Kreisels kann dazu verwendet werden, die Längen zu skalieren, und ein Hauptträgheitsmoment dazu, die Zeit oder Energie zu skalieren,<a href="#cite_note-richter2526-32">[32]</a> weswegen zwei Kreisel mit zueinander ähnlichen Ellipsoiden und vergleichbarer Lage des <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkts</a> und des Bezugspunkts bei gleichen Anfangsbedingungen in <a href="%C3%84hnlichkeitstheorie" title="Ähnlichkeitstheorie">ähnlicher Weise</a> umlaufen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drallsatz">Drallsatz</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a></div>

Die Dynamik des Kreisels lässt sich mit dem Drehimpuls ähnlich der Dynamik des Massenpunkts formulieren:<a href="#cite_note-33">[33]</a>

<dl><dt>Trägheitsprinzip</dt>

<dd>Der kräftefreie Kreisel bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt).</dd>

<dt>Drallsatz (Aktionsprinzip)</dt>

<dd>Unter dem Einfluss von <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmomenten</a> bewegt sich der Kreisel derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).</dd></dl>

Die <a href="Rotation_(Physik)#Vergleich_mit_der_Translationsbewegung" title="Rotation (Physik)">Analogien zwischen Rotation und Translationsbewegung</a> hören jedoch dort auf, wo die typischen Kreiselbewegungen beginnen. Denn während Impuls und Geschwindigkeit bei der Translation immer parallel und proportional zueinander sind, trifft das auf Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit in den kreiseltheoretisch interessanten Fällen nicht zu. Wird ein anfangs ruhender Kreisel durch einen <a href="Drehsto%C3%9F" title="Drehstoß">Drehstoß</a> um eine Achse in Drehung versetzt, muss er anschließend keineswegs um diese Achse kreisen.<a href="#cite_note-34">[34]</a> Bei konstantem Drehimpuls muss die Winkelgeschwindigkeit mitnichten konstant sein und umgekehrt, was der <a href="Dschanibekow-Effekt" title="Dschanibekow-Effekt">Dschanibekow-Effekt</a> und der <a href="Euler-Kreisel" title="Euler-Kreisel">Euler-Kreisel</a> untermauern.<a href="#cite_note-35">[35]</a> Im Allgemeinen gilt:

<ul><li>Bei konstantem Drehimpuls ändert sich bei freier Bewegung fortlaufend die Drehachse und der Kreisel taumelt oder „eiert“.</li>

<li>Wird die Drehachse festgehalten, dann ändert sich fortlaufend der Drehimpuls, wofür die Halterungen der Drehachse die dazu notwendigen Momente einbringen und die <a href="#Kreiselwirkung">#Kreiselwirkungen</a> abtragen müssen.</li></ul>

Der Drallsatz ist das wichtigste physikalische Gesetz in der Kreiseltheorie und schlägt sich anschaulich in der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus<a href="#cite_note-Regel_vom_gleichsinnigen_Parallelismus-36">[36]</a> nieder, siehe <a href="#Abb.ParallelismusGleichsinnig">Abbildung 6</a> dazu: Greift am Kreisel ein <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> M an, dann versucht der Kreisel seine Drehbewegung, ausgedrückt durch den Drehimpuls L, dem Drehsinn des Moments gleichsinnig parallel auszurichten, was im Bild blau angedeutet ist.

Mit diesem Grundsatz erklären sich viele Eigenschaften der Kreiselbewegungen. Wirkt beispielsweise eine <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> auf einen Kreisel mit Fixpunkt, dann entsteht im Fixpunkt eine Gegenkraft und mit ihr ein <a href="Kr%C3%A4ftepaar" title="Kräftepaar">Kräftepaar</a>, das ein zur Ebene des Kräftepaars senkrechtes Moment ausübt, siehe <a href="#Abb.Kraeftepaar">Abbildung 7</a> dazu. In dessen Richtung – immer senkrecht zur Kraft – weicht der Kreisel aus. Das gilt jedoch nur für den Drehimpuls und nur beim schnellen Kreisel auch für die Drehachse oder ggf. die Hauptachse, um die der Kreisel dreht.<a href="#cite_note-37">[37]</a> Auch die Präzession mit horizontaler Drehachse wie in der <a href="#Speichenrad">Abbildung 3 zum Speichenrad</a> lässt sich mit der Regel angewendet auf die <a href="Lagrange-Kreisel#Die_Kreiselwirkung_des_axialen_Drehimpulses" title="Lagrange-Kreisel">Kreiselwirkung des axialen Drehimpulses beim Lagrange-Kreisel</a> anschaulich erklären.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kreiselwirkung">Kreiselwirkung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kreiselwirkung" class="mw-redirect" title="Kreiselwirkung">Kreiselwirkung</a></div>

Das auffälligste Merkmal von Kreiseln ist die des gyroskopischen Effekts oder der Kreiselwirkung, die sich als verblüffende Kraftäußerung bemerkbar macht, wenn man versucht, die Drehachse eines Kreisels in eine neue Lage zu bringen. Die Kreiselwirkung äußert sich dabei als Widerstand, der über das beim ruhenden Körper bekannte Maß weit hinausgehen kann.<a href="#cite_note-grammel3-38">[38]</a>

Die Kreiselwirkung versucht nach der Regel des gleichsinnigen Parallelismus die Achse der Eigendrehung in Richtung und Orientierung mit der Achse der erzwungenen Drehung zur Deckung zu bringen.<a href="#cite_note-39">[39]</a> Sie ist eine <a href="Tr%C3%A4gheitskraft#D’Alembertsche_Trägheitskraft" title="Trägheitskraft">d’Alembertsche Trägheitskraft</a> und als solche ein einem angreifenden Moment entgegengesetzt gleich großes Moment: Moment und Kreiselwirkung gleichen sich aus (befinden sich im <a href="Dynamisches_Gleichgewicht_(Technische_Mechanik)" title="Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)">dynamischen Gleichgewicht</a>.)

Die Kreiselwirkung ist gleich der Summe der im Körper durch die <a href="Euler-Kraft" class="mw-redirect" title="Euler-Kraft">Euler-</a> und <a href="Zentrifugalkraft" title="Zentrifugalkraft">Zentrifugalkräfte</a> ausgeübten Momente. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck des <a href="Beharrungsverm%C3%B6gen" class="mw-redirect" title="Beharrungsvermögen">Beharrungsvermögens</a> gegen <a href="Winkelbeschleunigung" title="Winkelbeschleunigung">Winkelbeschleunigungen</a>, und die Zentrifugalkräfte entstehen aus der Trägheit der Massenpunkte gegen Richtungsänderungen ihrer Bewegung. In den Richtungen senkrecht zu einem angreifenden Moment neutralisieren sich die Kreiselwirkungen der Euler- und Zentrifugalkräfte und befinden sich dort untereinander im dynamischen Gleichgewicht. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck von Winkelbeschleunigungen, die dort von den Zentrifugalkräften im Kreisel hervorgerufen werden. Umgekehrt führen die Winkelbeschleunigungen zur Änderung der Drehachse und Drehgeschwindigkeit, was die Zentrifugalkräfte beeinflusst. Folge dieses dynamischen Wechselspiels ist besagtes Taumeln und „Eiern“ des kräftefreien Kreisels.

Die Kreiselwirkungen werden bei <a href="Kurvenkreisel" title="Kurvenkreisel">Kurvenkreiseln</a>, <a href="Kollerm%C3%BChle" class="mw-redirect" title="Kollermühle">Kollermühlen</a> und der Drallstabilisierung technisch ausgenutzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drallstabilisierung">Drallstabilisierung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Drallstabilisierung" class="mw-redirect" title="Drallstabilisierung">Drallstabilisierung</a></div>

Eine der technisch wertvollsten Eigenschaften von Kreiseln ist die Möglichkeit, mit ihnen Körper in ihrer räumlichen Ausrichtung zu stabilisieren. Dies wird, wie schon eingangs erwähnt, bei Schiffen, Raumflugkörpern und Geschossen ausgenutzt.

Die Drallstabilisierung zeigt sich beim einfachen Schwungrad in Abb. 8, wobei die <a href="Figurenachse" title="Figurenachse">Figurenachse</a> (anfänglich in y-Richtung) frei ist, so dass sie ihre Richtung beliebig ändern kann. Auf dieses ansonsten kräftefreie Schwungrad wirke eine kurze Zeit in z-Richtung ein konstantes Moment Mz, das das Schwungrad in Drehung um z versetzt. Diese Drehung macht sich am ruhenden und rotierenden Schwungrad jedoch unterschiedlich bemerkbar:

<ol><li>Ruht das Schwungrad, dann beginnt es durch das Moment um z zu rotieren. Nachdem das Moment aufgehört hat zu wirken, verharrt das Schwungrad in der Drehung um z, der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z nimmt monoton zu und ist unbeschränkt. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls haben nur eine Komponente und die weist in z-Richtung. Der Neigungswinkel ϑ zwischen Figurenachse und Momentenachse z bleibt unverändert.</li>

<li>Rotiert das Schwungrad anfänglich hinreichend schnell um die Figurenachse, dann zeigt sich ein anderes Bild. Zwar führt das Moment auch hier zu einer linearen Zunahme des Drehimpulses in z-Richtung, aber weil sich diese Komponente zum anfänglichen (als viel größer angenommenen) Drehimpuls in y-Richtung vektoriell addiert, der Drehimpuls also weiter vor allem in y-Richtung orientiert ist, und Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit einen spitzen Winkel einschließen (siehe <a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid#Poinsotsche_Konstruktion_der_Richtung_des_Drehimpulses" title="Trägheitsellipsoid">Energieellipsoid</a>), dreht das Schwungrad weiter vor allem um die y-Achse. Dadurch bleibt der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z beschränkt. Nach der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus versucht der Kreisel seine Drehung dem angreifenden Moment anzugleichen, wodurch der Winkel ϑ abnimmt.</li></ol>

Ursache für den geringen Einfluss des Moments auf die Drehung des rotierenden Schwungrads um z sind Trägheitskräfte, die Kreiselwirkungen aufbauen. Wird die Drehachse durch Lager irgendwie gehalten, neutralisieren sie diese Kreiselwirkungen und können die Trägheitskräfte nicht ihr Potenzial entfalten. Drallstabilisierung tritt nur bei Kreiseln auf, die ihre volle Bewegungsfreiheit in drei Drehfreiheitsgraden besitzen.<a href="#cite_note-40">[40]</a> Aber selbst dann gelingt eine Drallstabilisierung nicht immer, wie <a href="William_Thomson%2C_1._Baron_Kelvin" title="William Thomson, 1. Baron Kelvin">William Thomson, 1. Baron Kelvin</a> und <a href="Peter_Guthrie_Tait" title="Peter Guthrie Tait">Peter Guthrie Tait</a> zeigen konnten.<a href="#cite_note-41">[41]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Integrale_der_Bewegung">Integrale der Bewegung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Integral_der_Bewegung" title="Integral der Bewegung">Integral der Bewegung</a></div>

In der Kreiseltheorie werden bei der Rotation eines Kreisels unveränderliche <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größen</a> Integrale genannt, manchmal auch erste Integrale, <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> first integrals.<a href="#cite_note-richter2525-18">[18]</a> Diese sind von hervorragender Bedeutung, weil sie die Lösung der Kreiselgleichungen ermöglichen oder zumindest, wie das <a href="Spielkreisel#Jelletts_Integral" title="Spielkreisel">Jellett-Integral beim Spielkreisel</a>, die Bewegungen kennzeichnen.

Beim kräftefreien <a href="Euler-Kreisel" title="Euler-Kreisel">Euler-Kreisel</a> ist der Drehimpuls konstant und seine raumfesten Komponenten sowie sein Betrag sind bei dem Kreisel Integrale. Wenn das <a href="Schwerefeld" title="Schwerefeld">Schwerefeld</a> <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativ</a> ist, so wie das der Erde, befolgt die Kreiselbewegung den <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a>, weshalb die <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> dann ein Integral ist. Beim <a href="Schwerer_Kreisel" title="Schwerer Kreisel">schweren Kreisel</a> hat das Moment der lotrechten Schwerkraft keine Komponente in <a href="Lotrichtung" title="Lotrichtung">Lotrichtung</a> und somit ist der Drehimpuls in dieser Richtung ein Integral. Jedoch besitzen die Integrale, wie beispielsweise die <a href="Kowalewskaja-Kreisel#Integrale_der_Bewegung" title="Kowalewskaja-Kreisel">Kowalewskaja-Konstante</a>, nicht immer eine anschauliche Bedeutung.

Beim <a href="Schwerer_Kreisel" title="Schwerer Kreisel">schweren Kreisel</a> existieren immer drei erste Integrale (der <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a>) bei sechs Unbekannten. Wenn noch ein viertes Integral gefunden wird, dann kann mit der von <a href="Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" title="Carl Gustav Jacob Jacobi">Carl Gustav Jacob Jacobi</a> ersonnenen Methode des letzten Multiplikators<a href="#cite_note-letzterMultiplikator-42">[42]</a> noch ein fünftes Integral konstruiert werden, womit die Bewegungsgleichungen gelöst sind. Denn eine der sechs Unbekannten übernimmt die Rolle der unabhängigen Variable, da die Zeit in den Gleichungen nicht explizit vorkommt.<a href="#cite_note-43">[43]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezugssysteme_und_Euler-Winkel">Bezugssysteme und Euler-Winkel</h2></div>

In der Kreiseltheorie werden vor allem zwei <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssysteme</a> verwendet:

Im Inertialsystem (blau in Abb. 9), in dem der Bezugspunkt ruht und der Kreisel rotiert, werden die <a href="Euler-Winkel" class="mw-redirect" title="Euler-Winkel">Euler-Winkel</a> definiert, die die Orientierung der Hauptachsen des Kreisels im Raum angeben. Der zeitliche Verlauf der Winkel bestimmt die Bewegungsfunktion des Kreisels. Im raumfesten System können die Massenträgheitsmomente um nicht festgehaltene Achsen zeitlich variabel sein.

Im mitrotierenden körperfesten Bezugssystem (rot) sind die Bewegungsgleichungen besonders leicht zu formulieren, weil dort die Trägheitsmomente zeitlich konstant sind. In den Bewegungsgleichungen müssen hier auftretende <a href="Tr%C3%A4gheitskraft" title="Trägheitskraft">Trägheitskräfte</a> berücksichtigt werden. Diese sind die <a href="Euler-Kraft" class="mw-redirect" title="Euler-Kraft">Euler-Kraft</a> und die <a href="Fliehkraft" class="mw-redirect" title="Fliehkraft">Fliehkraft</a>. <a href="Corioliskraft" title="Corioliskraft">Corioliskräfte</a> kommen hier nicht vor, weil beim Starrkörper eine Bewegung seiner Massenpunkte relativ zum Körper ausgeschlossen ist.

In der Kreiseltheorie werden die Basisvektoren im raumfesten Bezugssystem mit den <a href="Eulersche_Winkel#Geometrische_Beschreibung" title="Eulersche Winkel">Euler’schen Winkeln</a> in der Standard-x-Konvention (z, x′, z″) ausgedrückt. Der Winkel ψ ist der Präzessionswinkel, ϑ der Neigungswinkel und φ bestimmt die Eigendrehung des Kreisels.<a href="#cite_note-44">[44]</a> Bezeichnen die Einheitsvektoren êx,y,z die raumfeste <a href="Standardbasis" title="Standardbasis">Standardbasis</a> (blau in Abb. 9) und êX,Y,Z = ê1,2,3 die mit dem Körper rotierende, bewegte Basis (rot), dann lauten die mitbewegten Basiseinheitsvektoren bezüglich der raumfesten Basis:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}=&{\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{2}=&{\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{3}=&{\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

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Der Vektor

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markiert die Knotenachse (gelbes N im Bild). Die <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy">, ihre Komponenten und die Vektoren hängen über

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zusammen. Häufig werden die Komponenten ω1,2,3 im Hauptachsensystem auch mit p, q und r bezeichnet und gelegentlich tauschen die Winkel ψ und φ die Bedeutung.

Bei sinϑ = 0 tritt eine Singularität auf, weil dann, wegen cosϑ = ±1, die Winkel ψ und φ in den Basisvektoren nach den <a href="Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme" title="Formelsammlung Trigonometrie">Additionstheoremen</a> nur als Kombination ψ ± φ vorkommen und somit verschiedene Winkel zur selben Basis führen können.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/search?q=kreisel&loc=de">TIB AV-Portal</a> der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technische Informationsbibliothek</a>, qualitätsgeprüfte wissenschaftliche Videos zum Thema <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=AolcDOSTQOg">Physik I -Vorlesung 11: Kreisel und Präzession Hochschule Bochum, Professor Eckehard Müller auf youtube, eingestellt am 11. Januar 2016</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Grammel (1920), S. 2, Grammel (1950), S. 3.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Grammel (1920), S. V, Grammel (1950), S. III, Magnus (1971), S. 1.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Grammel (1920), S. 3.

</li>

<li id="cite_note-richter2527-4"><a href="#cite_ref-richter2527_4-0">↑</a> Gashenenko und Richter (2003), S. 2527, 2532.

</li>

<a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a>, Conr. Müller: <cite style="font-style:italic">Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen</cite>. Mechanik. Hrsg.: <a href="Akademie_der_Wissenschaften_zu_G%C3%B6ttingen" class="mw-redirect" title="Akademie der Wissenschaften zu Göttingen">Akademien der Wissenschaften zu Göttingen</a>, Leipzig, München und Wien. Vierter Band, 1. Teilband. B. G. Teubner, 1908, ISBN 978-3-663-16021-2, S. 546, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-663-16021-2">10.1007/978-3-663-16021-2</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=j1aVBwAAQBAJ&pg=PA449#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche – siehe auch <a href="https://de.wikisource.org/wiki/Encyklop%C3%A4die_der_mathematischen_Wissenschaften" class="extiw external" title="s:Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften">wikisource</a>}).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Felix+Klein%2C+Conr.+M%C3%BCller&rft.btitle=Encyklop%C3%A4die+der+Mathematischen+Wissenschaften+mit+Einschluss+ihrer+Anwendungen&rft.date=1908&rft.doi=10.1007%2F978-3-663-16021-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783663160212&rft.pages=546&rft.pub=B.+G.+Teubner&rft.volume=Vierter+Band%2C+1.+Teilband" style="display:none">

</li>

<a href="Ludwig_Darmstaedter" title="Ludwig Darmstaedter">Ludwig Darmstaedter</a> (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Handbuch zur Geschichte der Naturwissenschaften und Technik</cite>. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1908, S. 209 (Wikimedia Commons).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.btitle=Handbuch+zur+Geschichte+der+Naturwissenschaften+und+Technik&rft.date=1908&rft.genre=book&rft.pages=209&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<a href="Clifford_Truesdell" title="Clifford Truesdell">Clifford Truesdell</a>: <cite style="font-style:italic">Die Entwicklung des Drallsatzes</cite>. In: <a href="Gesellschaft_f%C3%BCr_Angewandte_Mathematik_und_Mechanik" title="Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik">Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik</a> (Hrsg.): <cite style="font-style:italic"><a href="Zeitschrift_f%C3%BCr_Angewandte_Mathematik_und_Mechanik" title="Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik">Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik</a></cite> (= <cite style="font-style:italic">Heft 4/5</cite>). Band 44, April 1964, S. 154, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/zamm.19640440402">10.1002/zamm.19640440402</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/zamm.19640440402/abstract">wiley.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.atitle=Die+Entwicklung+des+Drallsatzes&rft.au=Clifford+Truesdell&rft.btitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Angewandte+Mathematik+und+Mechanik&rft.date=1964-04&rft.doi=10.1002%2Fzamm.19640440402&rft.genre=book&rft.pages=154&rft.series=Heft+4%2F5&rft.volume=44" style="display:none">

</li>

<a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Über die Bewegung der Rotation von starren Körpern um eine variable Achse</cite>. In: <a href="K%C3%B6niglich_Preu%C3%9Fische_Akademie_der_Wissenschaften_zu_Berlin" class="mw-redirect" title="Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin">Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin</cite>. Band 14. Petersburg 1758, S. 173 und 190. (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/euler-e292/mode/1up">archive.org</a> – Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Du mouvement de rotation des corps solides autour d’un axe variable</cite>.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.atitle=%C3%9Cber+die+Bewegung+der+Rotation+von+starren+K%C3%B6rpern+um+eine+variable+Achse&rft.au=Leonhard+Euler&rft.btitle=M%C3%A9moires+de+l%E2%80%99Acad%C3%A9mie+des+Sciences+de+Berlin&rft.date=1758&rft.genre=book&rft.pages=173+und+190.&rft.place=Petersburg&rft.volume=14" style="display:none">

</li>

<a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Mécanique Analytique</cite>. Tome Second. Corucier, Paris 1815, S. 265 f. (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mcaniqueanalyti05lagrgoog/mode/1up">archive.org</a> [abgerufen am 20. August 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Joseph-Louis+Lagrange&rft.btitle=M%C3%A9canique+Analytique&rft.date=1815&rft.genre=book&rft.pages=265f&rft.place=Paris&rft.pub=Corucier&rft.volume=Tome+Second" style="display:none">  oder Joseph-Louis Lagrange: <cite style="font-style:italic">Analytische Mechanik</cite>. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1797 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/analytischemech00murhgoog/mode/1up">archive.org</a> – Deutsche Übersetzung von Friedrich Murhard).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Joseph-Louis+Lagrange&rft.btitle=Analytische+Mechanik&rft.date=1797&rft.genre=book&rft.place=G%C3%B6ttingen&rft.pub=Vandenhoeck+und+Ruprecht" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Tuschmann und Hawig (1993), S. 123.

</li>

<a href="Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Traité de Méchanique</cite>. 3. Auflage. 1 bis 6. J. G. Garnier, Brüssel 1838 (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_AOnpaXuttr0C/mode/1up">archive.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Sim%C3%A9on+Denis+Poisson&rft.btitle=Trait%C3%A9+de+M%C3%A9chanique&rft.date=1838&rft.edition=3&rft.genre=book&rft.place=Br%C3%BCssel&rft.pub=J.+G.+Garnier&rft.volume=1+bis+6" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Tuschmann und Hawig (1993), S. 123., Audin (2008), S. 91.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Tuschmann und Hawig (1993), S. 119.

</li>

siehe Literatur und <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">F. Klein</a>, <a href="Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">A. Sommerfeld</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Theory of the Top</cite>. Volume I: Introduction to the Kinematics and Kinetics of the Top. Birkhäuser, Basel / Boston 2008, ISBN 978-0-8176-4720-9, S. vii ff., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4721-6">10.1007/978-0-8176-4721-6</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/gp/book/9780817647209">springer.com</a> – Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Über die Theorie des Kreisels</cite>. Übersetzt von R. J. Nagem, G. Sandri, Das Vorwort des Übersetzers mit historischem Abriss gibt es bei <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9780817647209-p1.pdf">springer.com</a> (PDF)).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=F.+Klein%2C+A.+Sommerfeld&rft.btitle=The+Theory+of+the+Top&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2F978-0-8176-4721-6&rft.genre=book&rft.isbn=9780817647209&rft.pages=vii+ff.&rft.place=Basel+%2F+Boston&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.volume=Volume+I%3A+Introduction+to+the+Kinematics+and+Kinetics+of+the+Top" style="display:none">

</li>

Édouard Husson: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Forschung nach algebraischen Integralen in der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt</cite>. In: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Annales de la faculté des sciences de Toulouse 2e série</cite>. 1906, S. 73–152, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5802/afst.232">10.5802/afst.232</a> (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.numdam.org/article/AFST_1906_2_8__73_0.pdf">numdam.org</a> [PDF; abgerufen am 7. März 2018] Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Recherche des intégrales algébriques dans le mouvement d’un solide pesant autour d’un point fixe</cite>. auf Seite 74 wird ein erster Beweisversuch von <a href="Roger_Liouville" title="Roger Liouville">Roger Liouville</a> 1897 als fehlerhaft aufgedeckt).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.atitle=Forschung+nach+algebraischen+Integralen+in+der+Bewegung+eines+schweren+K%C3%B6rpers+um+einen+festen+Punkt&rft.au=%C3%89douard+Husson&rft.btitle=Annales+de+la+facult%C3%A9+des+sciences+de+Toulouse+2e+s%C3%A9rie&rft.date=1906&rft.doi=10.5802%2Fafst.232&rft.genre=book&rft.pages=73-152" style="display:none"> , siehe auch Audin (2008), S. 106.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Leimanis (1965), S. 53 ff.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Magnus (1971), S. 129.

</li>

<li id="cite_note-richter2525-18">↑ <a href="#cite_ref-richter2525_18-0">a</a> <a href="#cite_ref-richter2525_18-1">b</a> Gashenenko und Richter (2003), S. 2525.

</li>

<a href="Kurt_Magnus_(Ingenieur)" title="Kurt Magnus (Ingenieur)">K. Magnus</a>: <cite style="font-style:italic">Kreiselprobleme/Gyrodynamics</cite>. Symposion Celerina, 20. Bis 23. August 1962 / Symposion Celerina, August 20–23, 1962. Hrsg.: Hans Ziegler. Springer Verlag, Berlin u. a. 1963, ISBN 978-3-662-12200-6, S. 7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-12200-6">10.1007/978-3-662-12200-6</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=iJ-FBwAAQBAJ&pg=PA4#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=K.+Magnus&rft.btitle=Kreiselprobleme%2FGyrodynamics&rft.date=1963&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-12200-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783662122006&rft.pages=7&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">

</li>

Magnus (1971), S. 109.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Gashenenko und Richter (2003), S. 2532 f.

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Magnus (1971), S. 1.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Grammel (1920), S. 3, Grammel (1950), S. 2, Tuschmann und Hawig (1993), S. 121.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Magnus (1971), S. 2f.

</li>

<li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">↑</a> Magnus (1971), S. 119

</li>

<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/rechtschreibung/Praezession">Duden│Präzession.</a> Duden online, abgerufen am 5. November 2017.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreiseltheorie&rft.title=Duden%E2%94%82Pr%C3%A4zession&rft.description=Duden%E2%94%82Pr%C3%A4zession&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.duden.de%2Frechtschreibung%2FPraezession&rft.publisher=Duden+online">

sowie

<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.duden.de/rechtschreibung/Nutation">Duden│Nutation.</a> Duden online, abgerufen am 8. März 2018.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AKreiseltheorie&rft.title=Duden%E2%94%82Nutation&rft.description=Duden%E2%94%82Nutation&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.duden.de%2Frechtschreibung%2FNutation&rft.publisher=Duden+online">

</li>

Vladimir I. Arnol’d: <cite style="font-style:italic">Mathematische Methoden der klassischen Mechanik</cite>. Springer-Verlag, Basel 1988, ISBN 978-3-0348-6670-5, S. 159, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6669-9">10.1007/978-3-0348-6669-9</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=pkqgBgAAQBAJ&pg=PA159#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche – russisch: <cite class="lang" lang="ru" dir="auto" style="font-style:italic">Математическе методы классическоя механики</cite>. Moskau 1979. Übersetzt von Prof. Dr. Peter Möbius, TU Dresden).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Vladimir+I.+Arnol%E2%80%99d&rft.btitle=Mathematische+Methoden+der+klassischen+Mechanik&rft.date=1988&rft.doi=10.1007%2F978-3-0348-6669-9&rft.genre=book&rft.isbn=9783034866705&rft.pages=159&rft.place=Basel&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> Magnus (1971), S. 27.

</li>

<li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> Kuypers (2016), S. 215

</li>

<a href="Edmund_Friedrich_Autenrieth" title="Edmund Friedrich Autenrieth">E. F. Autenrieth</a>, Max Ensslin: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure</cite>. Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=OTeuBgAAQBAJ&pg=PA423#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 5. November 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=E.+F.+Autenrieth%2C+Max+Ensslin&rft.btitle=Technische+Mechanik%3A+Ein+Lehrbuch+der+Statik+und+Dynamik+f%C3%BCr+Ingenieure&rft.date=1922&rft.genre=book&rft.isbn=9783642988769&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> Magnus (1971), S. 108.

</li>

<li id="cite_note-richter2526-32">↑ <a href="#cite_ref-richter2526_32-0">a</a> <a href="#cite_ref-richter2526_32-1">b</a> Gashenenko und Richter (2003), S. 2526 f.

</li>

<li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">↑</a> Klein und Sommerfeld (1910), S. 762.

</li>

<li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> Magnus (1971), S. 2 und S. 47, Grammel (1920), S. 43.

</li>

<li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Grammel (1920), S. 18.

</li>

<li id="cite_note-Regel_vom_gleichsinnigen_Parallelismus-36"><a href="#cite_ref-Regel_vom_gleichsinnigen_Parallelismus_36-0">↑</a> Klein und Sommerfeld (1910), S. 764.

</li>

<li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">↑</a> Grammel (1920), S. 59+62.

</li>

<li id="cite_note-grammel3-38"><a href="#cite_ref-grammel3_38-0">↑</a> Grammel (1920), S. 3

</li>

<li id="cite_note-39"><a href="#cite_ref-39">↑</a> Grammel (1920), S. 70.

</li>

<li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> Klein und Sommerfeld (1910), S. 767 f.

</li>

<li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">↑</a> Grammel (1950), S. 261 f.

</li>

<a href="Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" title="Carl Gustav Jacob Jacobi">Carl Gustav Jacob Jacobi</a>: <cite style="font-style:italic">Vorlesungen über Dynamik</cite>. Hrsg.: A. Clebsch. Verlag G. Reimer, Berlin 1884, S. 73 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/cgjjacobisvorle00lottgoog/page/n83/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Carl+Gustav+Jacob+Jacobi&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+Dynamik&rft.date=1884&rft.genre=book&rft.pages=73+ff.&rft.place=Berlin&rft.pub=Verlag+G.+Reimer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-43"><a href="#cite_ref-43">↑</a> Leimanis (1965), S. 10.

</li>

<li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">↑</a> Grammel (1920), S. 51.

</li>

</ol></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D573533210">573533210</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/derkreiselseine00gramgoog/mode/1up">archive.org</a> – „Schwung“ bedeutet Drehimpuls, „<a href="Drehsto%C3%9F" title="Drehstoß">Drehstoß</a>“ etwa Drehmoment und „Drehwucht“ Rotationsenergie, siehe S. VII).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1920&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+Verlag" style="display:none">  oder R. Grammel: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen</cite>. Erster Band: Die Theorie des Kreisels. Springer Verlag, Berlin u. a. 1950, ISBN 978-3-662-24311-4, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-662-26425-6">10.1007/978-3-662-26425-6</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=SmvOBgAAQBAJ&pg=PA3#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel.+Seine+Theorie+und+seine+Anwendungen&rft.date=1950&rft.doi=10.1007%2F978-3-662-26425-6&rft.genre=book&rft.isbn=9783662243114&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer+Verlag&rft.volume=Erster+Band%3A+Die+Theorie+des+Kreisels" style="display:none"> </li>

<li><a href="Kurt_Magnus_(Ingenieur)" title="Kurt Magnus (Ingenieur)">K. Magnus</a>: <cite style="font-style:italic">Kreisel: Theorie und Anwendungen</cite>. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. v (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=tATNBgAAQBAJ&pg=PA1#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=K.+Magnus&rft.btitle=Kreisel%3A+Theorie+und+Anwendungen&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=9783642521638&rft.pages=v&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Wilderich Tuschmann, Peter Hawig: <cite style="font-style:italic"><a href="Sofia_Kowalewskaja" class="mw-redirect" title="Sofia Kowalewskaja">Sofia Kowalewskaja</a></cite>. Ein Leben für Mathematik und Emanzipation. Birkhäuser Verlag, Basel 1993, ISBN 978-3-0348-5721-5, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5720-8">10.1007/978-3-0348-5720-8</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=G62bBgAAQBAJ&pg=PA119#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Wilderich+Tuschmann%2C+Peter+Hawig&rft.btitle=Sofia+Kowalewskaja&rft.date=1993&rft.doi=10.1007%2F978-3-0348-5720-8&rft.genre=book&rft.isbn=9783034857215&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">F. Klein</a>, <a href="Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">A. Sommerfeld</a>: <cite style="font-style:italic">Über die Theorie des Kreisels</cite>. Heft I-III. Teubner, Leipzig 1897 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/abv7354.0001.001.umich.edu/mode/1up">archive.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=F.+Klein%2C+A.+Sommerfeld&rft.btitle=%C3%9Cber+die+Theorie+des+Kreisels&rft.date=1897&rft.genre=book&rft.place=Leipzig&rft.pub=Teubner&rft.volume=Heft+I-III" style="display:none">  Sowie <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">F. Klein</a>, <a href="Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">A. Sommerfeld</a>: <cite style="font-style:italic">Über die Theorie des Kreisels</cite>. Heft IV. Teubner, Leipzig 1910 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/fkleinundasommer019696mbp/mode/1up">archive.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=F.+Klein%2C+A.+Sommerfeld&rft.btitle=%C3%9Cber+die+Theorie+des+Kreisels&rft.date=1910&rft.genre=book&rft.place=Leipzig&rft.pub=Teubner&rft.volume=Heft+IV" style="display:none"> </li>

<li>Friedhelm Kuypers: <cite style="font-style:italic">Klassische Mechanik</cite>. Wiley-VCH, Weinheim 2016, ISBN 978-3-527-33960-0 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=haHcCwAAQBAJ&pg=PA215#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Friedhelm+Kuypers&rft.btitle=Klassische+Mechanik&rft.date=2016&rft.genre=book&rft.isbn=9783527339600&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none"> </li>

<li>Eugene Leimanis: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point</cite>. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1965, ISBN 978-3-642-88414-6, S. 10 f., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88412-2">10.1007/978-3-642-88412-2</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=s8rsCAAAQBAJ&pg=PA53#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Eugene+Leimanis&rft.btitle=The+General+Problem+of+the+Motion+of+Coupled+Rigid+Bodies+about+a+Fixed+Point&rft.date=1965&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88412-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783642884146&rft.pages=10+f.&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li>

<li>I. G. Gashenenko, <a href="Peter_Richter_(Physiker)" title="Peter Richter (Physiker)">P. H. Richter</a>: <cite style="font-style:italic">Enveloping Surfaces And Admissible Velocities Of Heavy Rigid Bodies</cite>. In: World Scientific Publishing Company (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">International Journal of Bifurcation and Chaos</cite>. Band 14, Nr. 8, 2004, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220218-1274%22&key=cql">0218-1274</a>, S. 2525–2553, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1142/S021812740401103X">10.1142/S021812740401103X</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://iamm.su/upload/iblock/fb1/gas_rich.pdf">iamm.su</a> [PDF; abgerufen am 2. Juni 2019] siehe S. 2537).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.atitle=Enveloping+Surfaces+And+Admissible+Velocities+Of+Heavy+Rigid+Bodies&rft.au=I.+G.+Gashenenko%2C+P.+H.+Richter&rft.date=2004&rft.doi=10.1142%2FS021812740401103X&rft.genre=journal&rft.issn=0218-1274&rft.issue=8&rft.jtitle=International+Journal+of+Bifurcation+and+Chaos&rft.pages=2525-2553&rft.volume=14" style="display:none"> </li>

<li><a href="Edmund_Friedrich_Autenrieth" title="Edmund Friedrich Autenrieth">E. F. Autenrieth</a>, Max Ensslin: <cite style="font-style:italic">Technische Mechanik: Ein Lehrbuch der Statik und Dynamik für Ingenieure</cite>. Springer-Verlag, Berlin 1922, ISBN 978-3-642-98876-9 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=OTeuBgAAQBAJ&pg=PA423#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=E.+F.+Autenrieth%2C+Max+Ensslin&rft.btitle=Technische+Mechanik%3A+Ein+Lehrbuch+der+Statik+und+Dynamik+f%C3%BCr+Ingenieure&rft.date=1922&rft.genre=book&rft.isbn=9783642988769&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Michèle Audin: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Erinnerungen an Sofja Kowalewskaja</cite>. Springer Verlag, London u. a. 2008, ISBN 978-0-85729-928-4, S. 106, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-0-85729-929-1">10.1007/978-0-85729-929-1</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=sfqMyhrVuu8C&pg=PA106#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche – Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Remembering Sofya Kovalevskaya</cite>.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kreiseltheorie&rft.au=Mich%C3%A8le+Audin&rft.btitle=Erinnerungen+an+Sofja+Kowalewskaja&rft.date=2008&rft.doi=10.1007%2F978-0-85729-929-1&rft.genre=book&rft.isbn=9780857299284&rft.pages=106&rft.place=London+u.+a.&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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